1. Two identical, isolated particles, each of mass 2 kg, are separated by a distance of 30 cm.  What is the magnitude of the gravitational force of one particle on the other?

استخدم قانون الجذب العام لنيوتن لحساب القوة المتبادلة بين الكتلتين مع ملاحظة تحويل المسافة من وحدة السنتيمتر إلى المتر

2.  A 200-kg mass and a 500-kg mass are separated by a distance of 0.40 m. (a) Find the net gravitational force due to these masses acting on a 50-kg mass placed midway between them. (b) At what position (other than infinitely remote ones) would the 50-kg mass experience a net force of zero?

ارسم الشكل التوضيحي الذي يشرح المسألة كما في الشكل التالي:

احسب مقدار كلاً من القوتين ثم أوجد المحصلة

 F₁ = F₁₃ - F₁₂

لإيجاد المطلوب الثاني ارجع إلى المثال 8.2 في الكتاب المقرر

3.       Three 5-kg masses are located at the corners of an equilateral triangle having sides 0.25 m in length.  Determine the magnitude and direction of the resultant gravitational force on one of the masses due to the other two masses.

ارسم شكلاً توضيحيا للمسألة

حدد احد الكتل على المثلث متساوي الأضلاع لحساب القوة المؤثرة عليها نتيجة للكتلتين الاخرتين

حدد اتجاه كل قوة على الرسم

حلل متجهات القوى بالنسبة لمحور x و y

اوجد مجموع المركبات على محور x  ثم على محور y

أوجد محصلة القوة واتجاهها كالمعتاد

4.       Two stars of masses M and 4M are separated by a distance d.  Determine the location of a point measured from M at which the net force on a third mass would he zero.

انظر مثال 8.2 في الكتاب المقرر

5.       Four particles are located at the corners of a rectangle as in Figure 8.11. Determine the x and y components of the resultant force acting on the particle of mass m.

Figure 8.11

رقم الكتل لتسهيل تعريف متجه القوة المؤثرة لكل كتلة على الكتلة m

حدد اتجاه كل قوة على الرسم على الكتلة المعنية m

حلل متجهات القوى بالنسبة لمحور x و y وذلك للكتلة 3m  لأنها قطرية مع التعويض عن الزاوية بدلالة الأضلاع (المقابل والمجاور والوتر)

اوجد مجموع المركبات على محور x  ثم على محور y

6. Calculate the acceleration of gravity at a point that is a distance R_e above the surface of the earth, where R_e is the radius of the earth.

استخدم القانون

بالتعويض عن

 r = 2R_e
 

7.       Two objects attract each other with gravitational force of 1×10^-8N when separated by 20cm.  If the total mass of the two objects is 5kg, what is the mass of each?

نفرض أن كلتة الجسم الأول m₁ وكتلة الجسم الثاني m₂

لإيجاد مقدار كل كتلة نحتاج إلى معادلتين لإيجاد المجهولين المعادلة الأولى هي

بحل المعادلتين يمكن إيجاد كل كتلة

8.       Compute the magnitude and direction of the gravitational field at a point P on the perpendicular bisect of two equal masses separated by 2a as shown in Figure 8.12.

Figure 8.12

حيث أن المطلوب هو ايجاد مجال الجاذبية g عند نقطة على امتداد المنصف للكتلتين على بعد r

نقوم أولاً بترقيم الكتلتين ثم تحديد متجه الجاذبية عند النقطة المطلوبة كما في الشكل

من قانون الجاذبية نعلم أن

 g = F / m          &               g = GM/r²

والمحصلة تعطى بالمعادلة التالية

g_p=g₁+g₂

نلاحظ أن كلاً من g₁=g₂

نحلل كلاً من المجالين إلى مركبتين كما في الشكل حيث أن مركبات المجال على محور y تساوي صفر فإن المحصلة على محور x فقط

بالتعويض عن g₁ و جيب الزاوية بالمقابل على المجاور كما يلي

          واتجاهها في اتجامه محور x إلى اليسار

9.       A satellite of the earth has a mass of 100 kg and is altitude of 2 × 10⁶ m. (a) What is the potential energy of the satellite-earth system? (b) What is the magnitude of the force on the satellite?

استخدم القانون للمطلوب الأول

استخدم القانون للمطلوب الثاني

10.        A system consists of three particles, each of mass 5g, located at the corners of an equilateral triangle sides of 30 cm. (a) Calculate the potential energy of the system. (b) If the particles are released simultaneously, where will they collide?

استخدم القانون للمطلوب الأول

عند ترك الكتل الثلاثة في نفس اللحظة فإنهما سيتصادموا في مركز المثلث نتيجة لقوى التجاذب

11.        How much energy is required to move a 1000-kg form the earth's surface to an altitude equal to twice the earth's radius?

استخدم القانون

حيث  r مقدار نصف قطر الأرض. 

وبما ان الارتفاع من سطح الارض المطلوب هو ضعفى نصف قطر الارض نعوض عن r في القانون السابق بـ

r = R_e+h = 3R_e

12.        Calculate the escape velocity from the moon, where M_m=7.36×10²²kg,  R_m=1.74×10⁶m

استخدم القانون

13.        A spaceship is fired from the earth's surface with an initial speed of 2.0×10⁴m/s.  What will its speed when it is very far from the earth?

استخدم قانون الحفاظ على الطاقة

بالتعويض عن r_i بنصف قطر الأرض والتعويض عن r_f بالمالانهاية (يصبح الحد الأخير من المعادلة السابقة يساوي صفر) ثم احسب السرعة النهائية للمركبة الفضائية

14.        A 500-kg spaceship is in a circular orbit of radius 2R_e about the earth. (a) How much energy is required to transfer the spaceship to a circular orbit of radius 4R_e?  (b) Discuss the change in the potential energy, kinetic energy, and total energy.

استخدم القانون

r_i = 2R_e

r_f = 4R_e

15. (a) Calculate the minimum energy required to send a 3000-kg spacecraft from the earth to a distant point in space where earth's gravity is negligible. (b) If the journey is to take three weeks, what average power would the engines have to supply?

انظر مثال 8.5 في الكتاب المقرر

16.        A rocket is fired vertically from the earth's surface and reaches a maximum altitude equal to three earth radii.  What was the initial speed of the rocket? (Neglect the friction, the earth's rotation, and the earth's orbital motion.)

في هذه الحالة الطاقة الكلية محفوظة لأن الاحتكاك مهمل إذا

بالتعويض عن r_max بثلاثة اضعاف نصف قطر الأرض

r_max =3R_e

لإيجاد السرعة الإبتدائية نعوض عن الثوابت في المعادلة (*)

17.        A satellite moves in a circular orbit around a planet just above its surface. Show that the orbital velocity v and escape velocity of the satellite are related by the expression

حيث أن القمر الصناعي يدور في مدار قريب من سطح الأرض فإن المسافة هي R_e

من قانون الجذب العام فإن قوة جذب الأرض للقمر الصناعي هي

من قانون نيوتن الثاني F=ma للجسم الذي يتحرك في مسار دائري فإن قانون نيوتن الثاني يعطى بالعلاقة التالية

بمساواة المعادلتين ينتج أن

باختصار كلا من الكتلة والمسافة من طرفي المعادلة والضرب في 2 ينتج أن

باخذ الجذر التربيعي للطرفين يكون الطرف الأيمن من المعادة السابقة هو v_esc وهو المطلوب