Doppler Broadening

درسنا في المحاضرة السابقة تأثير العمر المحدود لمستويات الطاقة على اتساع الخط الطيفي Natural Broadening، وفي هذه المحاضرة سنقوم بدراسة تأثير ظاهرة دوبلر على اتساع الخط الطيفي.

كما نعلم أن ظاهرة دبلر هي تغير في التردد المقاس نتيجة الحركة النسبية بين المصدر والمراقب، مثل الصوت الذي نسمعه لدي مرور سيار اسعاف مسرعة بالنسبة لنا، فعندما يتحرك المصدر باتجاه مراقب ثابت فإن التردد المقاس بواسطة المراقب يزداد وعندما يبتعد المصدر عن المراقب الثابت يصبح التردد المقاس أقل من تردد المصدر في حالة سكون.

لفهم المقصود بظاهرة دبلر استعن بالتجربة الموضحة في النموذج ولاحظ ما يحدث للأمواج الصوتية عند تحريك المؤشر لليمين أو لليسار

Source of the demo: http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl

تحدث ظاهرة دبلر لذرات الباعثة للطيف الكهرومغناطيسي حيث أن الذرات في حالة حركة مستمرة اثناء الانبعاث الضوئي ولهذا فإن المراقب الذي يقيس تلك الترددات المطياف (Spectrometer) سوف يقيس ترددات مختلفة حسب ما إذا كانت الذرات مقتربة من المطياف أو مبتعدة عن المطياف.  والترددات المقاسة تعتمد على السرعة النسبية للذرات بالنسبة للمطياف كما في معادلة دبلر التالية:

   Classical Doppler Effect

يمكن التمييز بين مجموعة من الذرات على حسب سرعاتها فلو اختلفت مجموعة في سرعتها فإن الترددات المنبعثة منها تختلف وبالتالي نستطيع تمييز الترددات نتيجة لأختلاف السرعات.  ومن النظرية العامة للغازات فإن احتمالية انتماء ذرة إلى مجموعة من الذرات سرعتها تنحصر في المدى v to v+dv يمكن إيجادها من توزيع ماكسويل بولتزمان كما يلي:

وبالتالي فإن إحتمالية أن تكون سرعة الذرة واقعة في المدى   v to v+dv    يمكن التعبير عنها بالدالة g(v)dv

             (*)

where dN the total number of atoms have velocity in the range v to v+dv
           N the total number of the atoms
           M the mass of the atom
           T the temperature in Kelvin at thermal equilibrium

وحيث أن الترددات المنبعثة من الذرة نتيجة للانتقال بين مستويي الطاقة 1 و 2  سوف يكون معتمداً على سرعة الذرة من خلال معادلة دبلر على النحو التالي:

سنقوم الآن بإيجاد علاقة بين السرعة v والتردد v  وذلك للتعويض في المعادلة (*) كما يلي:

&

بالتعويض في المعادلة (*) عن v و dv  نحصل على

     (**)

وهذه المعادلة تسمى معادلة Gaussian Function والتي تعطي الاتساع في الخط الطيفي نتيجة ظاهرة دبلر والشكل التالي يوضح الاتساع المطلوب إيجاد قيمته.

بالتعويض في المعادلة السابقة (**) عن التردد v_o ومن الشكل أيضا نلاحظ أن عند التردد v₁ هو نصف قيمة الدالة عند التردد v_o وعليه نحصل على المعادلتين التاليتين.

بالقسمة المعادلتين نحصل على المعادلة التالية:

للتخلص من الدالة الاسية نأخذ اللوغارتم للطرفين فنحصل على المعادلة التالية:

وبهذا فإن

وحيث أن من الشكل التوضيحي للمنحني اتساع دبلر فإن

بالتعويض عن الثوابت نحصل على مدى الاتساع الناتج عن ظاهرة دبلر

لاحظ أن
مدى الاتساع يتناسب طردياً مع التردد الأصلي للطيف المنبعث وعليه فإن ظاهرة دبلر تؤثر على الترددات الكبيرة مثل الانبعاث الكهرومغناطيسي في مدى اللون الأزرق أو أكثر، أما الترددات في مدى الون الأحمر أو أقل فإن ظاهرة دبلر لاتلعب دوراً اساسيا في الاتساع.
كما أن الاتساع نتيجة ظاهرة دبلر يزدلد بزيادة درجات الحرارة ويقل بنقصان الكتلة.

Pressure Broadening (Collision Broadening)

ينتج عن التصادمات المرنة بين الذرات الباعثة للأشعاع الكهرومغناطيسي بعضها ببعض ويتسبب التصادم في انقطاع القطار الموجي المنبعث من الذرة وهذا الانقطاع يدوم لفترة قصيرة جدا 10^-13sec مما يسبب احداث قفزات عشوائية في طور القطار الموجي كما في الشكل، وتكون المحصلة النهائية لهذه التصادمات هو اتساع في مدى الترددات المنبعثة من الذرات المتصادمة حول التردد الأصلي v_o  وفي هذه الحالة فإن الدالة التي تعطي شكل الخط الطيفي هي    

والشرط الأساسي لهذه المعادلة هو أن يكون الزمن بين التصادمات أكبر بكثير من زمن التصادم نفسه أي أن

T_c >> t_c

           where T_c is the time between collisions
                      t_c is the time of collision

Dn is the spectral line broadening due to the natural lifetime and the coalitional process, therefore

وهذا يعطي الاتساع نتيجة للتصادمات وقد تم اهمال الاتساع نتيجة العمر المحدود لمستويات الطاقة وذلك لصغر قيمته بالمقارنة بالاتساع الناتج عن التصادمات بين الذرات.

Homogenous & Non-homogeneous Broadening

   End of Lecture (4)