يتولد الليزر داخل المادة عند اطوال موجية محددة تساوي احد الاطوال الموجية لخطوط الطيف المنبعثة من المادة.  ولتمثيل خطوط الطيف نرسم شدة الاشعاع الكهرومغناطيسي المنبعث من المادة كدالة في التردد أو الطول الموجي.

Emission line is described by plotting spontaneous emission radiation intensity as a function of frequency (or wavelength), for the specific lasing transition.

افترضنا سابقاً أن الطيف المنبعث من الذرة المثارة يرتكز فقط عند تردد وحيد وهو n_o والذي يدعى Resonance Frequency.  ولكن في الحقيقة فإن عمليتي الامتصاص والانبعاث لا تحدثان عند تردد وحيد فقط ولكن عند حزمة من الترددات التي تشكل اتساع في الخط الطيفي Dn وهذا الاتساع في الخط الطيفي emission line يعتمد على الكثير من العوامل سنذكرها بالتفصيل خلال هذه المحاضرة.

المقصود بمصطلح أحادي اللون Monochromatic

نظريا فإن مصطلح أحادي اللون يعني طول موجي محدد l₀ ، وعند رسم منحني التغير في شدة الطيف المنبعث للمستويين طاقة مع الطول الموجي ينتج خط يعرف بالخط الطيفي spectral line كما في الشكل الموضح على الجانب الأيمن حيث أن شدة الأشعة عند اطوال موجية خارج l₀  تساوي صفر. أما في الحقيقة فإن عند تمثيل العلاقة بين شدة الطيف المنبعث والطول الموجي نلاحظ أن للخط الطيفي اتساع معين مقداره Dl يعرف بـ spectral width بحيث تكون اعظم قيمة عند l₀ وتتناقص على الأطوال الموجية المجاورة بجوار l₀ كما في الشكل على الجانب الأيسر من الشكل التوضيحي.

Width of spectral line (laser radiation) in Theory and in Reality

وللتعبير عن شكل واتساع الخط الطيفي يمكن استخدام العديد من الطرق ولكن سنستخدم الطريقة الاكثر شيوعاً وهي الاتساع عند منتصف القمة أي Full Width at Half Maximum FWHM كما في الشكل التالي:

FWHM = Full Width at Half Maximum

Broadening the of emission line

Certain mechanisms are responsible for broadening the linewidth of a laser:

• Natural Broadening (Lifetime Broadening)

• Doppler Broadening

• Collision Broadening (Pressure Broadening)

سنقوم بدراسة كل عامل بالتفصيل لتوضيح تأثيره على اتساع الخط الطيفي

(1) Natural Broadening (Lifetime Broadening)

لقد سلمنا بأن مستويات الطاقة (0,1) التي تعاملنا معها بأنها حادة تماماً أي أن قيمة اللاحتمية (الشك) يساوي صفر DE = 0 لكل منهما، وهذا يشكل تناقض مع مبدأ هيزنبرج للشك حيث أن من مبدأ الشك فإن الذرة المثارة إلى المستوى E₁ يجب ان تبقى زمن لانهائي حتى يكون الشك في تحديد مستوى الطاقة E₁ يساوي صفر. 

Heisenberg uncertainty principle:

Numerical examples:

The longer the specific energy level transition lifetime, the narrower is its linewidth Dn .
 

نعلم أن الزمن الذي تبقى فيه الذرة في الحالة المثارة غير محدد بشكل لانهائي.  فإذا اثيرت ذرة إلى مستوي طاقة ما فسوف تبقى فيه فترة زمنية محددة ثم تعود إلى المستوى الارضي للطاقة Ground level وتطلق فوتونات.

وللتغلب على هذا التناقض بين مبدأ الشك والعمر المحدود لبقاء الذرة مثارة نفرض أن مستويات الطاقة لها اتساع وأن الذرات تتوزع باحتمالية أكبر ما يمكن عند التردد n_o كما في الشكل الموضح، ولذلك فإن احتمالية الانتقال n اقل من احتماية n₂₁  لان احتمالية توزيع الذرات في منتصف مستوى حزمة الطاقة اكبر ما يمكن.

باخذ متوسط عمر المستوى Average life time t  لمستوى الطاقة كمقياس للشك في الزمن Dt.

ويمكن تقدير اتساع الخط الطيفي نتيجة الاتساع الطبيعي Natural Broadening لمستوي طاقة i بالمعادلة التالية:

Dn_i = 1/2pt_i

Where as Dn_i = 0 for the ground state since t_i=∞.  The upper state (excited state) have life time in the range of 10^-6-10^-9 sec.

In the case of both levels involving the transition are broadened then the line width is given by

Dn₂₁ =Dn₁ +Dn₂

The life time of an excited state is the inverse of the spontaneous emission probability (A₂₁)

t = 1/A₂₁

In general case t = 1/∑A_2i

ولاثبات أن اتساع الخط الطيفي نتيجة Natural Broadening

Dn_i = 1/2pt_i

نتبع الطريقة التالية:

نفترض كتلة تحمل شحنة سالبة مقدارها e (شحنة الكترون) مرتبطة كما في الشكل بزنبرك وتتذبذب بتردد resonance frequency w.  اذا اعطيت للكتلة المشحونة ازاحة صغيرة x من وضع الاتزان فإن اشعاع كهرومغناطيسي ينطلق نتيجة لتذبذب الكتلة المشحونة كما نعلم من النظرية الكهرومغناطيسية والتي تشير إلى أن الشحنة المعجلة تطلق اشعاع كهرومغناطيسي.  وحيث اننا افترضنا ان الكتلة المشحونة مرتبطة بزنبرك فإنه يعمل على اخماد Damping الحركة التوافقية مما يؤدى إلى اضمحلال سعة الذبذبة كما في الشكل الموضح.

معادلة الحركة للنموذج السابق هي معادلة حركة توافقية مخمدة Damped oscillatory motion

وحل هذه المعادلة التفاضلية هو

ويمكن كتابتها في صورة مشابهة لمعادلة الحركة التوافقية البسيطة مع الاخذ في عين الاعتبار أن سعة الاهتزازة Amplitude في هذه الحالة هو دالة اسية في الزمن

=      &    w_o = 2pn_o

where g is called damping rate and its unit is s^-1

and w_o is the resonance angular frequency

وباستخدام تحليل فوريه Fourier analysis أن نحصل على دالة توزيع الترددات التي تعطي احتمالية وجود تردد w كما في المعادلة التالية:

وبتمثيل المعادلة السابقة بيانياً نحصل على الشكل التالي:

حيث يوضح الشكل السابق ان أكبر احتمالية لحدوث انبعاث عند التردد w_o وذلك لأن شدة الانبعاث أكبر مايمكن وتقل الاحتمالية كلما بعدنا عن التردد w_o

At the line center            w = w_o,               g(w_o) = 2/pg

At half height
                              

نحصل على أن

من الشكل السابق نستنتج أن

Dw  FWHM = 2 d w = g

Dn_n = g/2p

بالتعويض نحصل على

وحيث أننا نقيس عمليا التردد إذا

Lorentzian function

Width of spectral line  Dn_n = g/2p

The damping rate g is related to the half intensity line width Dn_n, and since  has a unit of s-1, then g = 1/t_i

Narrow Dn associated with low damping or longer lifetime

Broad Dn associated with high damping or shorter lifetime

Dn_i = 1/2pt_i

دالة  تعطي احتمالية حدوث الانتقال عند تردد ما.  و Dn  هي منتصف القيمة العظمى للأحتمالية وتسمى اتساع الخط الطيفي

Summary

Natural Broadening

Width of spectral line due to natural broadening	Shape of spectral line due to natural broadening
Dni = 1/2pti

   End of Lecture (3)