محاضرة (8) في الفيزياء الذرية والجزيئية

Quantization Rules  قاعدة التكميم
 

ان النجاح الذي حققته فرضية بوهر لتركيب الذرة واتفاقها مع نتائج التجارب العملية كان له الأثر الكبير في قبول هذه الفرضية وانتشارها ولكن بقى سؤال وهو ما علاقة مبدأ تكميم العزم الزاوي المداري للإلكترون حول النواة الذي بنى عليه بوهر فرضيته وفرضية بلانك بتكميم الطاقة الكلية لجسم (إلكترون) يتحرك حركة توافقية بسيطة.  في عام 1916 قام العالمان ويلسون وسمرفيلد Wilson and Sommerfeld بوضع تفسير لهذا السؤال من خلال انشاء قاعدة لتكميم أي نظام فيزيائي تكون احداثياته دالة دورية في الزمن. هذه القاعدة تم استخدامها لتفسير تكميم بلانك للطاقة وكذلك تكميم بوهر للعزم الزاوس المداري، كما كان لها العديد من التطبيقات في نظرية الكم. وتنص قاعدة التكميم أن
 

Quantization Rules
For any physical system in which the coordinates are periodic function of time, there exists a quantum condition for each coordinate, these quantum conditions are:

where q is one of the coordinate, p_q is the momentum associated with that coordinate, n_q is the quantum number which take integral values. and means that the integration is taken over one period of the coordinate q.

لشرح هذه القاعدة سوف نقوم بذلك من خلال شرح المثال التالي:
نفرض جسم يتحرك حركة توافقية بسيطة في بعد واحد طاقته الكلية E تحسب على النحو التالي

          since     p=mv   º    mv²/2=p²/2m

وبالتمثيل الهندسي لهذه المعادلة نجد ان العلاقة بين p_x و x هي معادلة Ellipse كما يلي

       where a and b is the semiaxes of the ellipse,

Phase space diagram of the motion of the linear S.H.O

لإيجاد قيمة التكامل وهو الطرف الأيسر من قاعدة التكميم سنستعين بالشكل الموضح أعلاه والذي يمثل العلاقة بين كمية الحركة الخطية p_x والإزاحة x وهي بالتمثيل الهندسي لها تكون على شكل معادلة ellipse وتعطي معلومات عن مقدار كمية الحركة الخطية عند أي ازاحة حيث يمثل المحور الأفقي الإزاحة x والمحور الرأسي كمية الحركة px وهذه الإحداثيات (x,px) تسمى بـ phase space والشكل أعلاه يسمى phase diagram للجسم المتحرك حركة توافقة في بعد واحد. 

نلاحظ أن قيمة التكامل هي المساحة المحصورة داخل محنى ellipse والتي تساوي

area of ellipse = = pab

بالتعويض عن قيمة a وقيمة b

بالتعويض في المعادلة نحصل على

بمساواة المعادلة مع الطرف الأيمن لمعادلة التكميم نحصل على

وتكون قيمة الطاقة الكلية للجسم الذي يتحرك حركة توافقية بسيطة في بعد واحد هي

 وهذه هي نفسها قانون التكميم لبلانك

لاحظ ان مستويات الطاقة المتاحة لحركة الجسم في هذه الحالة تمثل بسلسلة من الـ ellipses في space phase وأن المساحة المحصورة بين أي شكلين بيضاويين متعاقبين هي ثابت بلانك h.  وفي الحالة الكلاسيكية تؤول قيمة h الى الصفر وتكون كل حالات الطاقة مسموحة ولا نلاحظ التكميم لمستويات الطاقة.

اشتقاق الفرضية الثانية لنموذج بوهر
باستخدام قاعدة ويلسون سمرفيلد للتكميم يمكن اشتقاق العلاقة التي بنى عليها بوهر فرضيته الثانية وهي ان العزم الزاوي المداري L=nh/2p، افترض ان الكترون يدور في مدار دائري حول النواة نصف قطره r وأن الزاوية q الأحداثي الزاوي الذي يتغير بدالة دورية مع الزمن حيث ان الإلكترون يعيد نفسه كل زاوية مقدارها 360 درجة ويكون العزم الزاوي L ثابت

L = mvr = constant

بتطبيق قاعدة التكميم

وهذه هي نفس الفرضية التي طبقها بوهر في نموذج الذرة

المعنى الفيزيائي للفرضية الثانية لبوهر
ان المعنى الفيزيائي لفرضية بوهر علمت في 1924 من خلال فرضية دبرولي DeBroglie والتي تحدد الموجة المصاحبة للجسيم المادي من خلال المعادلة

يمكن كتابة فرضية بوهر على النحو التالي:

L = mvr = pr =nh/2p          n=1,2,3, .....

حيث p هي كمية الحركة الخطية للإلكترون في مداره المسموح به والذي نصف قطره r، وبالتعويض عن p بمعادلة ديبرولي نحصل على

     n=1,2,3, ......

وهذه المعادلة هي التي تعطي التفسير الفيزيائي لفرضية بوهر الثانية والتي تشير إلى أن المدار المسموح للإلكترون ان يتواجد به هي تلك المدارات التي يكون محيطها يساوي عدد صحيح من الطول الموجي لديبرولي.

إن هذا الشرط يعني ان الإلكترون في مداره حول النواة والمتحرك بسرعة ثابتة تكون له موجة مصاحبة ذات طول موجي محدد من فرضية ديبرولي وعند اكمال دورة حول النواة فإن الموجة المصاحبة للإلكترون ستعيد نفسها فإذا كان محيط المدار مساوي لعدد صحيح من الطول الموجي فهذا يعني ان الموجات المتراكبة الناتجة عن اكمال عدة دورات حول النواة ستكون في نفس الطور in phase اما إذا كان محيط المدار لا يساوي عدد صحيح من الطول الموجي فإن الموجات المتراكبة ستلغي بعضها البعض وتكون الموجة المصاحبة في هذه الحالة صفر وهذا يعني انه لا يوجد الكترون وان المدار غير متاح للالكترون ان يتواجد به.